Menyelesaikan Masalah Perbandingan Berbalik Nilai

Perbandingan berbalik nilai merupakan perbandingan dari dua buah nilai dari suatu besaran yang sejenis. di dalam perbandingan ini apabila nilai suatu komponen naik, maka nilai komponen yang lain akan menurun. Misalkan Pak Fatkhur adalah seorang penyedia jasa tukang bangunan (kuli bangunan). Beliau berpengalaman dalam proyek-proyek pembangunan rumah tinggal, karena beliau sendiri juga seorang tukang bangunan. Beliau menjelaskan bahwa dalam menyelesaikan sebuah rumah yang berukuran 12,5 m × 7 m diselesaikan oleh 5 tukang, termasuk Pak Fatkhur sendiri, selama 2 bulan sampai selesai.

Untuk mempercepat penyelesaian bangunan, Pak Fatkhur sanggup menyediakan tukang tambahan sesuai dengan permintaan pelanggan. Pak Fatkhur dan 9 temannya pernah membangun rumah selama 1 bulan. Nah, coba kalian duga, berapa lama waktu yang dibutuhkan oleh Pak Fatkhur dan 5 orang temannya untuk menyelesaikan sebuah rumah dengan ukurannya yang sama seperti cerita di atas?

Jika pelanggan Pak Fatkhur ingin memiliki rumah yang bisa diselesaikan selama 25 hari, berapa pekerja yang dibutuhkan untuk menyelesaikan pembangunan rumah? Bagaimana strategi untuk menyelesaikannya?

Ayo Kita Amati
Kecepatan dan waktu tempuh
Alan mengendarai sepeda motor dan menempuh jarak 480 km ketika mudik. Setiap kali mudik, dia mencoba dengan kecepatan rata-rata yang berbeda dan mencatat lama perjalanan. Tabel di bawah ini menunjukkan kecepatan ratarata motor dan waktu yang ditempuh.

Kecepatan Rata-rata (x) (km/jam)	80	75	60	40
Waktu (y) (jam)	6	6,4	8	12

Alan menguji tabel yang dibuatnya untuk mengetahui hubungan antara kecepatan dan waktu selama perjalanan yang berjarak 480 km.

Ayo Kita Menanya
Hubungan apakah antara kecepatan dan waktu yang ditempuh selama perjalanan yang berjarak 480 km? Bagaimanakah persamaan yang dapat kalian buat untuk menyatakan hubungan kecepatan rata rata (x) dan waktu tempuh (y).

Ayo Kita Menggali Informasi
Contoh 1 :
Alan ingin mengetahui lama perjalanan yang ditempuh jika dia mengendarai sepeda motor dengan kecepatan rata-rata 50 km/jam. Alan menyelesaikannya seperti berikut.

80 × 6 = 480
75 × 6,4 = 480
60 × 8 = 480
40 × 12 = 480
480 merupakan konstanta perbandingan.

xy = 480, atau y =	480
	x

y =	480	menyatakan hubungan antara dua variabel;
	x

Alan menggunakan persamaan untuk menentukan waktu yang ditempuh dengan kecepatan 50 km/jam. Dengan mensubstitusi 50 km/jam untuk nilai x, dapat ditentukan nilai y, waktu yang ditempuh.

Waktu yang ditempuh =	480
	kecepatan rata - rata sepeda motor yang dikendarai

y =	480	, y =	480	, y = 9,6
	x		50

Contoh 2 :
Berdasarkan masalah di atas, gambarlah grafik persamaan yang menyatakan perbandingan antara kecepatan rata-rata dan waktu yang ditempuh.

Alternatif Penyelesaian
Kita tahu bahwa persamaan yang terbentuk adalah y = 480/x, y adalah waktu yang ditempuh dan x adalah kecepatan rata-rata. Dengan menggunakan tabel berikut, kita dapat membuat grafik yang terbentuk.

Kecepatan Rata-rata (x) (km/jam)	80	75	60	40
Waktu (y) (jam)	6	6,4	8	12
Pasangan terurut (x, y)	(80, 6)	(75, 6,4)	(60, 8)	(40, 12)

Grafik yang terbentuk adalah sebagai berikut.

Perhatikan bahwa grafik yang terbentuk dari persamaan perbandingan berbalik nilai tidak melewati titik asal (0, 0) dan tidak memotong sumbu koordinat

Selain kecepatan dan waktu yang berbanding terbalik, terdapat beberapa masalah sehari-hari yang saling berbanding terbalik. Misalkan banyak pekerja dan waktu yang dibutuhkan untuk menyelesaikan suatu pekerjaan.

Banyak pekerja (orang)	Waktu yang dibutuhkan (hari)
6	30
10	18
12	15
15	12
20	9
30	6

Tabel di atas menunjukkan hubungan antara banyak pekerja dan waktu yang dibutuhkan untuk menyelesaikan pekerjaan. Perhatikan baris pertama dan keenam. Perbandingan banyak pekerja dan waktu yang dibutuhkan pada kedua baris saling berkebalikan. 6/30 untuk baris pertama dan 30/6 pada baris keenam. Hal serupa juga akan terlihat, misalnya pada baris ketiga dan keempat.

Contoh :
Suatu pekerjaan dapat diselesaikan oleh 12 orang dalam waktu 20 hari. Berapa lama waktu yang dibutuhkan untuk menyelesaikan pekerjaan itu apabila dikerjakan oleh 6 orang?

Alternatif Penyelesaian
Masalah di atas dapat kita selesaikan dengan membuat tabel seperti berikut.

Banyak pekerja (orang)	Waktu yang dibutuhkan (hari)
12	20
6	h

Dengan menggunakan konsep perbandingan berbalik nilai, diperoleh :
Jadi, pekerjaan akan selesai dalam waktu 40 hari apabila dikerjakan oleh 6 orang.

Ayo Kita Berlatih
1. Tentukan apakah tiap tabel berikut menunjukkan perbandingan berbalik nilai. Jika iya, jelaskan.
2. Andrea mengatakan bahwa persamaan y/2 = 8/x bukanlah persamaan perbandingan berbalik nilai karena bentuknya tidak y= k/x . Jelaskan dan perbaiki kesalahan yang disampaikan oleh Andrea.

y/2 = 8/x merupakan perbandingan berbalik nilai. Karena bentuk tersebut dapat diubah menjadi y = 16/x dengan k = 16.

3. Pak Fatkhur adalah seorang penyedia jasa tukang bangunan (kuli bangunan). Beliau berpengalaman dalam proyek-proyek pembangunan rumah tinggal, karena beliau sendiri juga seorang tukang bangunan. Beliau menjelaskan bahwa dalam menyelesaikan sebuah rumah dapat diselesaikan oleh 5 tukang, termasuk pak Fatkhur sendiri, selama 2 bulan sampai selesai finishing. Untuk mempercepat penyelesaian bangunan, Pak Fatkhur sanggup menyediakan tukang tambahan sesuai dengan permintaan pelanggan. Pak Fatkhur dan 9 temannya pernah membangun rumah selama 1 bulan.

Nah, sekarang coba kalian duga, berapa lama yang dibutuhkan oleh Pak Fatkhur dan 5 orang temannya untuk menyelesaikan sebuah rumah yang ukurannya sama seperti yang dijelaskan di atas? Jika pelanggan Pak Fatkhur ingin memiliki rumah yang bisa diselesaikan selama 25 hari, berapa pekerja yang dibutuhkan untuk menyelesaikan pembangunan rumah?

Berikut tabel banyak pekerja dan waktu penyelesaian bangunan

Banyak pekerja	Lama penyelesaian
5	2 bulan = 60 hari
10	1 bulan = 30 hari
6	x
y	25 hari

Perhatikan bahwa hasil kali antara banyak pekerja dan lama penyelesaian pada dua baris sel adalah sama. Sehingga, untuk menentukan lama penyelesaian apabila banyak pekerja sebanyak 6 orang adalah sebagai berikut.

10	=	x
6		30

10 × 30 = 6 × x
300 = 6x
x = 50
Jadi, lama penyelesaian pembangunan rumah apabila diselesaikan oleh 6 orang adalah 50 hari.

Apabila pembangunan rumah harus diselesaikan 25 hari, maka banyak pekerja dapat ditentukan seperti berikut.

10	=	25
y		30

10 × 30 = 25 × y
300 = 25y
y = 12
Jadi, banyak pekerja yang dibutuhkan untuk menyelesaikan pembangunan rumah selama 25 hari adalah 12 pekerja

4. Tentukan persamaan dari grafik berikut.
5. Jarak kota P ke kota Q adalah 60 km. Grafik di bawah ini menunjukkan hubungan antara kecepatan sepeda motor (km/jam) dan waktu yang diperlukan (jam).
a. Dengan menggunakan grafik di atas, tentukan kecepatan kendaraan bila waktu yang dibutuhkan untuk menempuh perjalanan dari kota P ke Q adalah 1,5 jam. Jelaskan bagaimana kalian memperoleh jawaban.

Misalkan kecepatan motor adalah v dan waktu yang dibutuhkan adalah t, maka hubungan v dan t adalah vt = 60. Apabila lama perjalanan adalah 1,5 jam, maka kecepatan motor dapat ditentukan seperti berikut.

v=	60	=	60	, v =40
	t		1,5

Jadi, kecepatan kendaraan apabila waktu yang ditempuh dari kota P ke Q 1,5 jam adalah 40 km/jam.

b. Dapatkah kalian menentukan persamaan grafik di atas? Jelaskan.
Persamaan grafik adalah vt = 60.

c. Pertanyaan terbuka
Dapatkah kalian menentukan kecepatan yang dibutuhkan pengendara untuk menempuh total lama perjalanan pergi dan perjalanan pulang selama 3 jam? Bagaimana kalian menentukannya.

Berikut contoh dua jawaban berbeda :
Supaya lama perjalanan pergi dan pulang ditempuh selama 3 jam, pengendara motor bisa memacu kendaraannya 40 km/jam saat berangkat dari kota P ke kota Q dan saat perjalanan pulang .

Atau
Supaya lama perjalanan pergi dan pulang ditempuh selama 3 jam, pengendara motor bisa memacu kendaraannya 30 km/jam saat berangkat dari kota P ke kota Q. Saat perjalanan pulang dari Kota Q ke kota P memacu kendaraan dengan kecepatan 60 km/jam.